题目:在实数范围内求解方程: x^9+3x^6+3x^3-1=0 , 要求化简至无多层根号形式,即不能用类似: \sqrt {\sqrt {a}+b} 的形式,但是可以使用单层k
次根号。
首先注意力集中一下,观察变量形式,很容易发现可以整体代换 y=x^3 ,则原方程变成:
y^3+3y^2+3y-1=0
注意力再次集中一下,观察系数特点,很容易发现符合两数和立方公式
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 ,则原方程可以进一步得到: (y+1)^3=2
去掉复数根,则在实数范围内有: y=\sqrt[3]{2}-1
进一步地, x^3=\sqrt[3]{2}-1
在实数范围内: x=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}
坏了,被预判使用多层根号形式了
那么,我们就需要找到一个多单层k
次根号的和差组合的形式来化简
注意力再次集中,
我们知道: (1+\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{k^2})^3 = 3k^{5/3}+6k^{4/3}+k^2+6k^{2/3}+7k+3k^{1/3}+1 \ = (3k+6)k^{2/3}+(6k+3)k^{1/3}+k^2+7k+1
k^{2/3} 是我们不想看到的, k^{1/3} 是我们可以接受的,尝试令 k=-2 ,消去
k^{2/3} 项,得到:
(1+\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{k^2})^3 = -9\sqrt[3]{-2}-9=9(\sqrt[3]{2}-1)
所以, \sqrt[3]{2}-1=(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})^3/9=3(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})^3/3^3
x=\sqrt[3]{3}(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})/3=(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{12})/3
Q.E.D.
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朦胧的望过去正如朦胧的回退,不带走任何一片朦胧,只留下一点朦胧
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佬,发现一个bug,公式太长渲染显示不完整:
这是帖子的显示效果:
这是编辑界面的效果,有滑块可以往右划到底:
不好意思,这一步我就不知道了,可以更加通俗点解释么?
简单的说,就是因为 x^2=\sqrt[3]{2}-1 ,然后答案不允许多层根号,所以肯定是单层根号的线性组合,又出现了立方根,所以x
的组合中肯定是包含多个立方根项的。
更一般的通式应该是: (1+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^3 的形式,但是写下来太复杂了,所以直接靠注意力给出k
的组合形式。
这种题其实都是预先设计好答案再反过来出题的,所以正面推导很难有具说服力的方法。
啊,怪不得跟到这一步我就不理解了,前面步骤还是属于自己写题想不到老师一点就发出“哦~”的阶段,最后这一步就是《数学课就低头捡了只笔.gif》了