| 题号 | 答案 |
|---|---|
| 1 | B |
| 2 | A |
| 3 | D |
| 4 | D |
| 5 | C |
| 6 | D |
| 7 | A |
| 8 | C |
| 9 | B |
| 10 | B |
| 11 | (x-\frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4} |
| 12 | 0 |
| 13 | -1 |
| 14 | -4 |
| 15 | 24x^4 |
| 16 | \frac{14}{27} |
卷子：
# 考研数学命题人终极预测卷（二）
**科目代码：301**
## 考生注意事项
1. 答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2. 选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题册上答题无效。
3. 填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。
4. 考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
## 一、单选题（1~10小题，每小题5分，共50分）
1. 设 $f(x) = \int_{0}^{|\sin x|} e^{t^{2}} \, dt$，$g(x) = \int_{0}^{|x|} \sin t^{2} \, dt$，则在 $(-\pi, \pi)$ 内，
- A．$f(x)$ 是可导的奇函数
- B．$g(x)$ 是可导的偶函数
- C．$f(x)$ 是奇函数且 $f'(0)$ 不存在
- D．$g(x)$ 是偶函数且 $g'(0)$ 不存在
2. 设 $b > 0 > a$，则
- A．$a e^{a} (e^{b} - 1) > b e^{b} (e^{a} - 1)$
- B．$a e^{a} (e^{b} - 1) < b e^{b} (e^{a} - 1)$
- C．$b e^{a} (e^{b} - 1) > a e^{b} (e^{a} - 1)$
- D．$b e^{a} (e^{b} - 1) < a e^{b} (e^{a} - 1)$
3. 设 $\Gamma$ 为曲面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ($a > 0$) 与平面 $x + y + z = 0$ 的交线，则
$$
\oint_{\Gamma} x(1 + y) \, ds =
$$
- A．$\frac{\pi}{6} a^{3}$
- B．$-\frac{\pi}{6} a^{3}$
- C．$\frac{\pi}{3} a^{3}$
- D．$-\frac{\pi}{3} a^{3}$
4. 设 $z = z(x, y)$ 由
$$
\begin{cases}
x = u e^{v}, \\
y = u v \quad (u > 0, v > 1), \\
z = v
\end{cases}
$$
所确定，则
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =
$$
- A．$\frac{x y}{z(1 - z)^{3}}$
- B．$\frac{x y}{z(z - 1)^{3}}$
- C．$\frac{z}{x y (1 - z)^{3}}$
- D．$\frac{z}{x y (z - 1)^{3}}$
5. 设2阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值均为实数，则
- A．$\left[\frac{\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})}{3}\right]^{2} \geq |\boldsymbol{A}|$
- B．$[\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})]^{2} \leq |\boldsymbol{A}|$
- C．$\left[\frac{\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})}{2}\right]^{2} \geq |\boldsymbol{A}|$
- D．$\left[\frac{\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})}{2}\right]^{2} \leq |\boldsymbol{A}|$
6. 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是 $n$ 维列向量且与 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 的解均正交，则
- A．$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 的解与 $\boldsymbol{A}$ 的行向量正交
- B．$\boldsymbol{A x} = \mathbf{0}$ 的解与 $\boldsymbol{A}$ 的列向量正交
- C．$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有解
- D．$\boldsymbol{A x} = \boldsymbol{b}$ 有解
7. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 “$|\boldsymbol{A}| < 0$” 是 “存在 $n$ 维非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$，使得 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} < 0$” 的
- A．充分非必要条件
- B．必要非充分条件
- C．充要条件
- D．既非充分又非必要条件
8. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且都服从参数为1的指数分布。若
$$
Z =
\begin{cases}
2X, & X \geq Y \\
Y - 1, & X < Y
\end{cases}
$$
则 $E(Z) =$
- A．$\frac{2}{7}$
- B．$\frac{7}{2}$
- C．$\frac{7}{4}$
- D．$\frac{4}{7}$
9. 设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数，若 $E(X)$ 存在，且 $E(|X - Y|) = 1$，则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为
- A．0
- B．$\frac{1}{4}$
- C．$\frac{1}{2}$
- D．1
10. 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自均匀分布总体 $U(0, \theta)$ ($\theta > 0$) 的简单随机样本，原假设 $H_{0}: \theta \geq 2$，备择假设 $H_{1}: \theta < 2$，拒绝域为 $W = \{ X_{(n)} \leq a \}$，其中 $a > 0$, $X_{(n)} = \max \{ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \}$，若犯第一类错误的概率的最大值为 $\frac{1}{3^{n}}$，则 $a =$
- A．$\frac{4}{3}$
- B．$\frac{2}{3}$
- C．$\frac{3}{4}$
- D．$\frac{3}{2}$
## 二、填空题（11~16小题，每小题5分，共30分）
11. 设圆与曲线 $x = y^{2}$ 在 $(0, 0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同，则该圆的方程为 ______。
12. 设 $x = t^{3} + 2t + 1$，$\int_{0}^{y + t} e^{-u^{2}} \, du = t$，则
$$
\left. \frac{d^{2} y}{dx^{2}} \right|_{t = 0} = \text{______}.
$$
13. 设函数 $f(x) = \frac{x^{2} - x - 1}{x^{2}(x + 1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x - 1)^{n}$，$x \in (0, 2)$，则
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n} a_{n}}{\sqrt{n^{2} + 1}} = \text{______}.
$$
14. 设 $y = y(x)$ 满足
$$
y'' + 2 y' + y = e^{-x}, \quad y(0) = y'(0) = 1,
$$
则
$$
\int_{0}^{+\infty} x \, dy = \text{______}.
$$
15. 设 $x \neq 0$，则
$$
D_{4} = \left| \begin{array}{cccc}
x & x & 0 & 0 \\
1 & 1 + 2x & 2x & 0 \\
0 & 2 & 2 + 3x & 3x \\
0 & 0 & 3 & 3 + 4x
\end{array} \right| = \text{______}.
$$
16. 甲口袋有1只黑球，2只白球，乙口袋有3只白球，每次从两口袋中各任取一球，交换后放另一口袋，则交换3次后，黑球仍在甲口袋中的概率为 ______。
官网的不是low嘛
打扰了
