设有三维坐标系中的五个特殊点:
A(√2, 3^(1/3), ln2)
B(φ, -e/2, ζ(3)) 其中φ为黄金分割比,ζ(3)为阿培里常数
C(2023π/1000, sin1°, Γ(1/4)) 这里Γ为伽马函数
D(∫₀¹ x^x dx, ∛11, -γ) 其中γ为欧拉-马歇罗尼常数
E(Σₙ₌₁^∞ 1/n², tan(tan⁻¹2), 0)
已知五面体ABCDE满足:
AB与CD的中垂面相交形成角度arccos(1/√π)
点E到ABC平面的距离是AD长度的黎曼ζ函数在s=2时的值除以π²
五面体体积为Γ(1/4)^4/(64π²)的立方根
求:当五面体所有边长之和取最小值时,各顶点坐标需满足的约束条件方程组,并证明该方程组至少有一个实数解。
第一题没有固定结果
回复方程组中有
大概就是满血的
光有这个也没用
必须是方程组中包含的 大概率才为满血
主要是看推出的方程组中有没有这个条件
光有条件 没有方程组那也不对
设在5维欧氏空间 ℝ⁵ 中给出七个特殊点
P = (√α, exp(1/β), ln γ, ζ(2), Γ(1/3)),
Q = (ϕ, –π/√δ, ζ(3), ∫₀¹ exp(x²)dx, G),
R = (2023π/δ, sin1°, Γ(1/7), Li₃(1/2), Ei(1)),
S = (∫₀¹ x^x dx, ∛11, –γ₀, ζ(5), Σₙ₌₁^∞ (–1)ⁿ/n²),
T = (Σₙ₌₁^∞ 1/n⁴, tan(arctan 2), ln Γ(3/4), {}_2F_1(1/3,2/3;5/3;1/2), arcsin(1/3)),
U = (∫₀^∞ cos(x²)dx, ψ^(1)(2), ζ(7), K(1/√2), L(2,χ₄)),
V = (Σₙ₌₁^∞ 1/n^(3/2), tanh(arctanh 3), ln²2, ζ(4), E₁(2)).
其中
• α, β, γ, δ ∈ ℚ⁺ 为正有理数,并满足适当归一化条件;
• ϕ 为黄金分割比;
• ζ(s) 为 Riemann ζ 函数,G 为 Catalan 常数;
• Γ(s) 为伽马函数;
• Ei(s) 为指数积分,Li₃(s) 为三阶 polylogarithm;
• γ₀ 表示欧拉—马歇罗尼常数;
• {}_2F_1 表示高斯超几何函数;
• ψ^(1)(s) 为多阶多聚伽玛函数;
• K(k) 是第一类完全椭圆积分,L(2,χ₄) 为 Dirichlet L 系列,E₁(s) 为余指数积分。
构造七面体(即7个顶点构成的高维凸超面体)V₇ = PQRSTUV,其各边两端的点间距离为 d(P,Q), d(P,R), … 等,共35条边。
现定义以下条件:
【条件Ⅰ】(中超平面交角约束)
设 H₁ 为 PQ 边的中垂超平面,H₂ 为 RS 边的中垂超平面。要求 H₁ 与 H₂ 的交所形成的超平夹角等于
θ = arccos(1/√(π + e)).
这一条件可写成关于点 P、Q、R、S 坐标的非线性约束方程组 𝑪₁(见下文精确定义)。
【条件Ⅱ】(面距离与特定常数关系)
令 H₃ 为由 P, Q, R 三点确定的仿超平(即 5 维中 2 维子空间的平移),要求点 V 到 H₃ 的正交距离 d(V,H₃) 满足
d(V,H₃) = ζ(4) / π³.
这一条件可写为方程组 𝑪₂。
【条件Ⅲ】(体积归一化约束)
设 V₅(V₇) 表示 V₇ 所围成的 5 维超体积,要求
V₅(V₇) = [Γ(1/3)⁵ / (32 π^(5/2))]^(1/5).
这将引入关于所有七点坐标的一个非线性积分方程 𝑪₃。
【条件Ⅳ】(总边长最优化约束)
定义超面体的总边长 L = Σ (所有35条边长度)。要求在满足条件Ⅰ–Ⅲ的前提下,总边长 L 取得全局最小值。由此必存在一个拉格朗日乘子系统——记为 𝓛1——使得对每个边长 d(·,·) 有
∇[L + Σ_{i} λ_i f_i(P,Q,...,V)] = 0,
其中 f_i 分别对应条件 𝑪₁, 𝑪₂, 𝑪₃ 内的各个约束(含积分、无穷级数及特殊函数),λ_i 为拉格朗日乘子。
【问题要求】
(1) 写出上述条件 𝑪₁, 𝑪₂, 𝑪₃ 与最优化条件 𝓛1 所构成的总约束条件方程组 ℱ(P,Q,R,S,T,U,V, λ₁,…,λ_k) = 0,要求尽可能将各关系明确表达(注意:部分方程为超越、积分或级数形式)。
(2) 利用泛函分析中的拓扑不动点思想及介值定理证明:在 ℝ⁵ 中至少存在一组实数解满足上述总约束条件(即证明在满足所有复杂非线性条件下,解集不为空)。
第二题我没跑过 大家自行尝试
测试看看 你的deepseek r1 需要思考多久吧
有的不是满血版本 跑到一半思考就会出现问题
如果可以正常回复出来就对比一下看看
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红衣大叔的高速模型可能是有点水分
大家用多种方法测试吧