代数与分析的界线
之前看一个视频里提到，数学的粗略划分可以按
[!tip]“是否涉及极限”来粗略划分
涉及极限的叫分析，讨论有限的叫代数
以上是我咨询ds的回答，并且提醒 代数和分析确实是数学中两种最根本的“世界观”和“方法论” ，但不能忽略还有其他的重要部分，如：
[!note]第三极的存在：几何-拓扑（空间）
当然实际的数学是非常庞杂的，绝没有如此简单和泾渭分明。
但我觉得初学如果直接着眼于整体，学起来会更云里雾里~被其复杂绕得晕头转向，所以我打算先粗浅得地将数学划分为几大类，再逐渐深入。
极限的历史
[!warning]极限是一条分界，但为什么极限这么重要呢？
由极限-无穷小，甚至引发了第二次数学危机。
我也还很懵懂，但是可以在历史上找到一些答案。
在哲学上也有过这么个问题，诸如芝诺的乌龟以及飞矢不动。
感兴趣的佬们可以自行搜索相关~
但在数学上就是对于“无穷小”的认识和发掘的过程。
[!todo]大体可分为4个阶段：
【公元前-17世纪初】
- 也就是割圆术等细分-逼近的朴素方法
【17世纪下半叶】
- 微积分的雏形，其中莱布尼茨的所推广的符号基本沿用至今，就是现在我们依然在用的工具。
- 但是依然无法说清楚到底“无穷小”是什么。
- 直觉上它是对的，实际上它是有用的，可是在底层，它是幽灵一般无法厘清的。
- 这在数学里是致命的缺陷……数学严谨的大厦不能容忍这种模棱两可的东西。
【19世纪】
- 经过数学家们不懈的努力，由柯西→魏尔斯特拉斯，完成了对“无穷小”的清理。
- 或者说是巧妙地“绕过”了无穷小。
- 关键在于“ ε-δ 语言”。
- 可以简单的理解为此前的数学家都尝试去描述一个无法精确描述的量-无穷小。
- 但无穷小在标准实数系下（我们日常用的最多的框架）是难以描述清楚的。【我个人是这样理解的：相当于用经典力学的体系去研究量子力学的东西，无法描述是正常的】
- 而魏尔斯特拉斯的ε-δ语言，相当于上去就一个左正蹬
把“无穷小”一脚踹出了实数系————绕过了“无穷小”的概念，转而用ε-δ语言清楚地定义了“无穷小”————或者叫“任意小”。 - 被称为“标准分析”，沿用至今。
- 由此数学把不严谨的东西革除，数学大厦又重新回到了让人心安的严谨状态。
【20世纪60年代至今】
- 有别于标准分析，被称为非标准分析。
- 相当于通过框架的升级，把无穷小在更广的体系下重新纳入。
- 来到了超实数系……唔，听着就难
先不管了~
是的，直接学太难了，结合数学史容易点……佬这个秒回有点超速了哦
好高级，我还没领悟到~不过一听分析就是极限了，哈哈哈